Algèbre linéaire Exemples

$- \frac{1}{8 x} + 5 y = \frac{1}{2}$ , $x - 40 y = - 4$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} & 5 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 40 & - 4 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 8$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 8$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 8 (- \frac{1}{8}) & - 8 \cdot 5 & - 8 (\frac{1}{2}) \\ 1 & - 40 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 40 & - 4 \\ 1 & - 40 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 40 & - 4 \\ 1 - 1 & - 40 + 40 & - 4 + 4 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 40 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - 40 y = - 4$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 40 y = - 4 - x$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 40 y = - 4 - x$ par $- 40$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 40 y = - 4 - x$ par $- 40$ .

$\frac{- 40 y}{- 40} = \frac{- 4}{- 40} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 40$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 40 y}{- 40} = \frac{- 4}{- 40} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 40} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 40$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{- 4 (1)}{- 40} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 40$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 10} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 10} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{10} + \frac{- x}{- 40}$

Étape 4.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{1}{10} + \frac{x}{40}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, \frac{1}{10} + \frac{x}{40})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{1}{10} + \frac{x}{40} \end{array}]$